Inversione circolare

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Dimostrazione del teorema di Pitagora

Una dimostrazione algebrica

Questa dimostrazione si basa su proprietà algebriche.
Si considerino quattro triangoli rettangoli uguali, di cateti a e b e ipotenusa c. Ruotati tre di essi rispettivamente di 90°, 180° e 270° si ottiene la seguente figura:

Se li uniamo avvicinandoli otteniamo quanto segue:

L’area di ogni triangolo è \dfrac{ab}{2}. La figura che abbiamo ottenuto è un quadrato di lato c: infatti il quadrilatero ottenuto ha i lati tutti uguali e gli angoli retti poichè la somma dei due angoli non retti dei triangoli è ancora un angolo retto. L’area di questo quadrato è c^{2} e il quadrato centrale ha lato a - b
Allora l’area c^{2} è uguale alla somma dell’area del quadrato centrale, che è (a-b)^{2}, e dei quattro triangoli, 4\dfrac{ab}{2}.
Quindi c^{2}={(a-b)}^{2}+4\dfrac{a-b}{2}=a^{2}-2ab+b^{2}+2ab=a^{2}+b^{2}. Il teorema è dimostrato.
(Fonte: teorema di Pitagora)

(https://www.youtube.com/watch?v=hbhh-9edn3c)

Illusioni ottiche

Dischi rotanti, spirali che sprofondano nello schermo e pallini che ammiccano. Ma anche figure-fantasma, che appaiono in un battere di ciglia e geometrie distorte così ingannevoli da sembrare reali. Ecco le illusioni ottiche, quei disegni o quegli effetti grafici in grado di farci vedere cose che non esistono o che riescono a simulare movimenti anche nelle immagini completamente statiche. Alcune manipolano il modo i cui il nostro cervello interpreta le immagini, altre sfruttano la fisiologia del nostro occhio e i meccanismi con cui queste vengono proiettate e permangono sulla retina. Oppure il modo in cui il nostro cervello raggruppa naturalmente alcune figure, seguendo quelle che vengono chiamate le leggi della Gestalt. Nate quasi per gioco, sono un interessante chiave di lettura per i neuroscienziati impegnati a studiare il meccanismo della visione e provare a svelare come la nostra mente comprende ciò che gli occhi vedono.

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Il grigio della casella A è uguale a quello della casella B.

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Triangolo di Kanizsa: è possibile vedere un triangolo bianco che in realtà non esiste.

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The spinning dancer (la ballerina girevole) a volte sembra ruotare in senso orario, altre in senso antiorario.

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Le linee orizzontali e verticali che delimitano i quadrati di questa scacchiera sono parallele.

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Griglia scintillante: nelle intersezioni delle linee bianche è possibile vedere delle macchie grigie in continuo cambiamento.

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Fissa la croce e allontanati e avvicinati allo schermo; i due cerchi girano in senso opposto.

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Il principio della coppa di Rubin: una coppa bianca o due facce nere contrapposte?

( immagini e descrizioni tratte da Illusione ottica – wikipedia e Illusioni ottiche da capogiro)

Il ponte con il nastro di Möbius

Le superfici ordinarie, ossia le superfici che nella vita quotidiana siamo abituati ad osservare, hanno sempre due facce, per cui è sempre possibile percorrerne idealmente una senza mai raggiungere l’altra, se non attraversando una linea di demarcazione costituita da uno spigolo (chiamato “bordo”): si pensi ad esempio alla sfera, al toro, o al cilindro. Per queste superfici è possibile stabilire convenzionalmente un lato “superiore” o “inferiore”, oppure “interno” o “esterno”.
Nel caso del nastro di Möbius, invece, tale principio viene a mancare: esiste un solo lato e un solo bordo. Dopo aver percorso un giro, ci si trova dalla parte opposta. Solo dopo averne percorsi due ci ritroviamo sul lato iniziale. Quindi si potrebbe passare da una superficie a quella “dietro” senza attraversare il nastro e senza saltare il bordo ma semplicemente camminando a lungo.
Un nastro di Möbius può essere realizzato partendo da una striscia rettangolare ed unendone i lati corti dopo aver impresso ad uno di essi mezzo giro di torsione (180°). A questo punto se si percorre il nastro con una matita, partendo da un punto casuale, si noterà che la traccia si snoda sull’intera superficie del nastro, che è quindi unica.
Essendo una superficie rigata, per ogni punto sul nastro passa almeno una retta che giace sulla superficie del nastro. Sono superfici rigate il piano, il cilindro e il cono e altre, mentre non sono superfici rigate la sfera, l’elissoide e molte altre.
Nella costruzione, si ottiene un nastro di Möbius imprimendo al lato corto n mezzi giri di torsione, con n dispari (nel nastro di Möbius “classico”, n=1). Con n pari si ottiene una figura topologica diversa, questa volta orientabile, chiamata anello, equivalente ad una corona circolare
Tagliando il nastro a metà parallelamente al bordo, si ottiene un altro nastro però con una torsione intera, due bordi e due superfici diverse, quindi orientabile. La cosa interessante è che i due bordi separati dalle forbici rimangono un solo bordo, quindi la figura viene completamente tagliata a metà, ma rimane attaccata; tagliando ancora a metà il secondo si ottengono due nastri con torsione intera uno dentro l’altro. Tagliando il nastro a un terzo della sua larghezza si possono fare due giri con le forbici e si ottengono due nastri concatenati, uno grande la metà dell’altro, dove quello piccolo è ancora un nastro di Möbius, con mezza torsione, mentre quello grande ha una torsione intera.
L’oggetto deve il suo nome al matematico August Ferdinand Möbius (1790-1868) che fu il primo a considerare la possibilità di costruzione di figure topologiche non orientabili. Il simbolo matematico ∞ di infinito non fa riferimento al nastro; la sua introduzione è attribuita al matematico inglese Jhon Wallis (1616-1703).

(tratto da Wikipedia)

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